Marchand巴伦阻抗变换公式推导与设计优化

1. 阻抗变换平面Marchand巴伦公式推导解析

在射频电路设计中，Marchand巴伦因其宽带性能和平面结构而备受青睐。本文将深入解析一种可实现阻抗变换的平面Marchand巴伦的公式推导过程，重点讨论当负载阻抗从Z₀变为Z₁时的S参数矩阵变换方法。

1.1 基本结构与工作原理

Marchand巴伦的基本结构如图1所示，它由两个相同的耦合器对称连接而成。非平衡输入端接源阻抗Z₀，平衡输出端接负载阻抗Z₁。这种结构的关键优势在于：

• 同时实现平衡-非平衡转换（Balun功能）
• 完成源阻抗与负载阻抗之间的变换
• 平面结构适合集成电路实现

在实际应用中（如平衡二极管混频器），负载阻抗Z₁往往与标准50Ω源阻抗不同，因此阻抗变换功能尤为重要。

关键点：端口定义需特别注意，本文采用非标准端口顺序（端口2耦合，端口3直通），与常见定向耦合器定义相反。实际应用中可根据需要交换端口2和3的顺序。

1.2 原始S参数矩阵

当所有端口参考阻抗均为Z₀时，对称均匀耦合线巴伦的S参数矩阵为：

[S]balun = [
(1-3C²)/(1+C²) j2C√(1-C²)/(1+C²) -j2C√(1-C²)/(1+C²) ;
j2C√(1-C²)/(1+C²) (1-C²)/(1+C²) 2C²/(1+C²) ;
-j2C√(1-C²)/(1+C²) 2C²/(1+C²) (1-C²)/(1+C²)
]

其中C为电压耦合系数。这个矩阵具有以下特性：

1. S12 = S21 = jD （D=2C√(1-C²)/(1+C²)）
2. S13 = S31 = -jD
3. S22 = S33 = E = (1-C²)/(1+C²)
4. S23 = S32 = F = 2C²/(1+C²)
5. 满足E+F=1和S11²+2D²=1

2. 阻抗变换的S参数重归一化

2.1 参考阻抗变换理论

当端口参考阻抗从Z₀变为Z₁时，需要重新计算S参数矩阵。这一过程基于归一化电压波的定义：

对于端口i，参考阻抗为Zᵢ时的归一化入射波和反射波：
aᵢ = (Vᵢ + ZᵢIᵢ)/(2√Zᵢ)
bᵢ = (Vᵢ - ZᵢIᵢ)/(2√Zᵢ)

当参考阻抗变为Zᵢ'时，新的归一化波为：