C++数学算法实践：阶乘、斐波那契与GCD实现

markdown复制## 1. 实验目标与需求解析

这次C++实验涵盖了六个基础但极具代表性的数学计算问题，主要考察循环结构、递归算法和基础数学运算的实现能力。作为计算机专业学生首次接触的综合性实验，它巧妙地将数学概念与编程思维结合，能有效训练以下核心能力：

1. **阶乘求和**：理解循环嵌套与累积运算
2. **等比数列**：掌握递推公式的代码转化
3. **斐波那契数列**：体验递归与迭代的效率差异
4. **最大公约数**：实践欧几里得算法的精妙
5. **最小公倍数**：学习利用已有算法构建新解法
6. **平均数计算**：处理动态输入与数据类型转换

> 提示：实验虽基础，但每个问题都暗含陷阱。比如阶乘的快速增长会导致整型溢出，递归实现的斐波那契有严重的性能问题，这些正是老师希望我们通过实践理解的编程要点。

## 2. 核心算法实现与代码解析

### 2.1 阶乘求和（1!到n!的和）

阶乘计算是理解循环结构的经典案例。我们采用双层循环实现：外层控制求和范围，内层计算单个阶乘。

```cpp
long long factorialSum(int n) {
    long long total = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        long long fact = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            fact *= j;
        }
        total += fact;
    }
    return total;
}

关键点：

• 使用long long类型防止溢出（20!就会超出int范围）
• 内层循环每次从1重新计算，避免复杂的状态维护
• 时间复杂度O(n²)，适合教学演示但实际应用应优化

2.2 等比数列求和

等比数列求和公式为S = a₁(1-qⁿ)/(1-q)，当q≠1时。代码需要处理q=1的特殊情况：

cpp复制double geometricSeries(double a1, double q, int n) {
    if (q == 1.0) return a1 * n;
    return a1 * (1 - pow(q,