红包金额期望计算：均匀分布与递推解法

1. 项目背景与题目解析

这道P5104题目来自信息学奥林匹克竞赛（OI）题库，属于典型的概率与期望值计算问题。题目场景设定为"发红包"这个日常生活中常见的场景，但背后考察的是选手对连续型概率分布的理解和数学建模能力。

题目大意是：在一个微信群中，第一个人准备发出总金额为w元的红包，群里有n个人参与抢红包。红包金额的分配遵循以下规则：

1. 第一个人会随机获得一个金额，这个金额在[0,w]区间内均匀分布
2. 剩下的人按照同样的规则分配剩余金额
3. 需要计算第k个人期望获得的金额

这类问题在实际编程竞赛中很常见，它巧妙地将生活场景与概率论知识结合起来，考察选手的数学抽象能力和编程实现技巧。

2. 数学建模与理论分析

2.1 概率分布基础

首先我们需要理解均匀分布的概念。在区间[a,b]上的均匀分布，概率密度函数为：
f(x) = 1/(b-a) 当a≤x≤b
f(x) = 0 其他情况

对于第一个抢红包的人，他获得的金额X1服从[0,w]上的均匀分布，其期望值为：
E[X1] = (0 + w)/2 = w/2

2.2 递推关系建立

关键在于发现这个问题具有自相似性。对于第k个人，我们可以建立递推关系：

设Ek(w)表示当剩余金额为w时，第k个人的期望获得金额。那么：

E1(w) = w/2 （直接由均匀分布期望得出）

对于k>1的情况：
第一个人取走x金额后，剩余w-x金额由后面k-1个人分配
因此Ek(w) = E[Ek-1(w-X1)] = ∫(0到w) Ek-1(w-x) * (1/w) dx

通过变量替换y=w-x，可以转化为：
Ek(w) = (1/w) * ∫(0到w) Ek-1(y) dy

2.3 数学归纳法求解

我们可以用数学归纳法来求解这个递推关系：

基础情况k=1：
E1(w) = w/2

假设对于k-1成立：
Ek-1(w) = w/(2^(k-1))

那么对于k：
Ek(w) = (1/w) * ∫(0到w) y/(2^(k-1)) dy
= (1/w) * [y^2/(2^k)]|(0到w)
= (1/w) * (w^2/(2^k))
= w/(2^k)

因此，通过数学归纳法，我们得到通用公式：
Ek(w) = w/(2^k)

3. C++实现与代码解析