LQR控制在STM32倒立摆系统中的应用与实践

1. 倒立摆与LQR控制基础

倒立摆系统是控制理论中的经典实验平台，由一个可以在水平轨道上自由移动的小车和安装在小车上的摆杆组成。摆杆一端固定在小车上，另一端可以自由摆动。一阶倒立摆特指只有一个活动关节的摆杆系统，相比高阶倒立摆（如双摆、三摆）具有相对简单的动力学特性，但依然是非线性、不稳定的典型代表。

LQR（Linear Quadratic Regulator）即线性二次型调节器，是现代控制理论中应用最广泛的状态反馈控制方法之一。其核心思想是通过构造一个包含状态变量和控制量的二次型性能指标，求解最优控制律使得该指标最小化。对于倒立摆这样的不稳定系统，LQR能够提供良好的镇定效果。

实际工程中，90%的倒立摆控制问题都可以通过LQR解决，但当摆杆角度超过±30°时，线性化模型误差会显著增大，此时需要结合非线性控制方法。

2. 系统建模与线性化处理

2.1 动力学方程推导

采用拉格朗日力学方法建立一阶倒立摆的精确非线性模型。设小车质量为M，摆杆质量为m，摆杆长度为l，摆角为θ，小车位移为x。忽略摩擦和空气阻力，系统的拉格朗日量为：

code复制L = T - V
  = [1/2*M*dx/dt² + 1/2*m*( (dx/dt - l*cosθ*dθ/dt)² + (l*sinθ*dθ/dt)² )] 
    - [mgl(1-cosθ)]

通过欧拉-拉格朗日方程推导得到非线性微分方程组：

code复制(M+m)d²x/dt² - mlcosθd²θ/dt² + mlsinθ(dθ/dt)² = F
-mlcosθd²x/dt² + ml²d²θ/dt² - mglsinθ = 0

2.2 工作点线性化

在平衡点(θ=0, dθ/dt=0)附近进行泰勒展开，保留一阶小量，得到线性化模型：

code复制(M+m)d²x/dt² - mld²θ/dt² = F
-mld²x/dt² + ml²d²θ/dt² - mglθ = 0

转换为状态空间形式，选择状态变量x1=x, x2=dx/dt, x3=θ, x4=dθ/dt：

code复制dx/dt = A*x + B*u
y = C*x

其中系统矩阵A和控制矩阵B的具体形式需要通过参数代入确定。以典型实验参数为例（M=0.5kg, m=0