陆拾贰號1. 组合导航系统概述
在自动驾驶、无人机和机器人定位领域，组合导航系统已经成为高精度定位的核心技术方案。IMU（惯性测量单元）和GPS（全球定位系统）的融合，能够充分发挥两者的优势：IMU提供高频的短期运动状态估计，而GPS提供低频但绝对的位置参考。这种互补特性使得组合导航系统在各种复杂环境中都能保持稳定的定位性能。
EKF（扩展卡尔曼滤波）是处理这类非线性系统状态估计问题的经典方法。它通过线性化非线性系统模型，将标准的卡尔曼滤波理论扩展到非线性系统中。在IMU和GPS的融合应用中，EKF能够有效地处理IMU的噪声和GPS的测量误差，实现最优的状态估计。
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2. 系统架构与数学模型
2.1 状态空间模型定义
组合导航系统的核心是建立准确的状态空间模型。我们定义21维误差状态向量：
code复制x = [δφ, δv, δp, εb, ∇b, sf_g, sf_a]^T
其中：
- δφ：3维姿态误差（roll, pitch, yaw）
- δv：3维速度误差（北向、东向、天向）
- δp：3维位置误差（纬度、经度、高度）
- εb：3维陀螺仪零偏误差
- ∇b：3维加速度计零偏误差
- sf_g：3维陀螺仪比例因子误差
- sf_a：3维加速度计比例因子误差
2.2 IMU误差模型
IMU的误差建模直接影响融合算法的精度。我们采用以下模型：
code复制ω_meas = (I + S_g)(ω_true + b_g) + n_g
a_meas = (I + S_a)(a_true + b_a) + n_a
其中：
- S_g和S_a分别是陀螺仪和加速度计的比例因子矩阵
- b_g和b_a是随时间变化的零偏
- n_g和n_a是白噪声
零偏和比例因子误差建模为一阶高斯-马尔可夫过程：
code复制db_g/dt = -b_g/τ_g + w_g
dS_g/dt = -S_g/τ_sg + w_sg
2.3 运动学方程
基于误差状态的连续时间系统方程：
code复制δφ' = -[ω×]δφ - εb - n_g
δv' = -[a×]δφ + C_n^b∇b + C_n^b n_a
δp' = δv
εb' = -εb/τ_g + w_g
∇b' = -∇b/τ_a + w_a
sf_g' = -sf_g/τ_sg + w_sg
sf_a' = -sf_a/τ_sa + w_sa
其中C_n^b是从导航系到机体系的旋转矩阵。
3. EKF算法实现
3.1 预测步骤
预测步骤利用IMU数据进行状态和协方差的预测：
cpp复制// 离散时间状态转移矩阵计算
MatrixXd F = MatrixXd::Identity(21,21);
F.block<3,3>(0,0) = Matrix3d::Identity() - skewMatrix(omega)*dt;
F.block<3,3>(0,3) = -0.5*C_bn*dt;
F.block<3,3>(3,6) = Matrix3d::Identity()*dt;
// ... 其他F矩阵元素填充
// 过程噪声协方差矩阵Q
MatrixXd Q = MatrixXd::Zero(21,21);
Q.block<3,3>(0,0) = sigma_g^2 * dt * Matrix3d::Identity();
// ... 其他Q矩阵元素填充
// 状态预测
x_pred = F * x;
P_pred = F * P * F.transpose() + Q;
3.2 更新步骤
当GPS测量到达时，执行EKF更新：
cpp复制// 测量矩阵H
MatrixXd H = MatrixXd::Zero(6,21);
H.block<3,3>(0,6) = Matrix3d::Identity(); // 位置测量
H.block<3,3>(3,3) = Matrix3d::Identity(); // 速度测量
// 卡尔曼增益计算
MatrixXd K = P_pred * H.transpose() * (H * P_pred * H.transpose() + R).inverse();
// 状态更新
x = x_pred + K * (z - H * x_pred);
P = (MatrixXd::Identity(21,21) - K * H) * P_pred;
4. C++实现关键点
4.1 数据结构设计
高效的数据结构对实时系统至关重要：
cpp复制struct NavState {
Eigen::Vector3d position; // LLH [deg,deg,